Triangles | त्रिभुज | Chapter 6 | Class 10

● जिन दो त्रिभुजों के आकार (shape) और माप (measurements) समान होते हैं, सर्वांगसम त्रिभुज (congruent triangles) कहलाते हैं।
● समरूप आकृति (similar shapes) - जिन दो आकृतियों के आकार बिल्कुल समान हो परन्तु आमाप (sides) समान हो या न हो, समरूप आकृतियाँ कहलाती हैं।

● सभी सर्वांगसम आकृतियों के युग्म (pair) समरूप होते हैं परंतु सभी समरूप आकृतियाँ सर्वांगसम होना आवश्यक नहीं है।
● समान भुजाओं वाले बहुभुज (polygons) समरूप होते हैं, यदि उनके संगत कोण (corresponding angles) बराबर हों तथा संगत भुजाएँ समानुपाती हों।
● यदि कोई बहुभुज किसी दूसरे बहुभुज के समरूप हो और दूसरा बहुभुज अन्य तीसरे बहुभुज के समरूप हो, तो तीनों बहुभुज समरूप होते हैं।
● समकोणिक त्रिभुज (equilateral triangle) - जिस त्रिभुज के संगत कोण बराबर हों।
● दो समकोणिक त्रिभुजों की संगत भुजाएँ हमेशा समानुपाती (proportional) होती हैं।
● यदि त्रिभुज की किसी एक भुजा के समांतर (parallel) कोई अन्य भुजा खींची जाए, तो अन्य दोनों भुजाएँ समान अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
● यदि कोई रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात (proportionately) में विभाजित करती है, तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।

● समरूपता की कसौटियाँ (similarity criterion) -

* AAA (कोण-कोण-कोण) कसौटी - जब त्रिभुज के तीनों संगत कोण बराबर हों, तो भुजाएँ बराबर या समानुपाती होती हैं जिससे त्रिभुज समरूप होते हैं।
* AA (कोण-कोण) कसौटी - जब त्रिभुज के दो संगत कोण बराबर हो, तो तीसरे कोण भी बराबर होंगे जिससे दोनों त्रिभुज समरूप होंगे।
* SSS (भुजा-भुजा-भुजा) कसौटी - जब दो त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती हों, तो कोण भी समान होते हैं जिससे त्रिभुज समरूप होते हैं।
* SAS (भुजा-कोण-भुजा) कसौटी - जब दो त्रिभुजों का एक-एक कोण बराबर हो और इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाएँ समानुपाती हो, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

* RHS - दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि एक त्रिभुज का कर्ण (hypotenuse) तथा एक भुजा दूसरे त्रिभुज के कर्ण तथा एक  भुजा एक ही अनुपात (ratio) में हो।
● दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग (square) के बराबर होता है।
● यदि समकोण त्रिभुज (right angled triangle) में 90° वाले शीर्ष से कर्ण पर लंब (perpendicular) डाला जाए तो लंब के दोनों ओर बने त्रिभुज समरूप होते हैं और सम्पूर्ण त्रिभुज भी इन्ही के समरूप होता है।
● पाइथागोरस प्रमेय  (pythagoras theorem) - समकोण त्रिभुज के कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग (sum) के बराबर होता है।
● एक आयत (rectangle) का विकर्ण (diagonal) स्वयं से उतना ही क्षेत्रफल निर्मित करता है, जितना उसकी लम्बाई और चौड़ाई से निर्मित होता है अर्थात आयत के विकर्ण से बने वर्ग का क्षेत्रफल (area) इसकी लम्बाई और चौड़ाई से बने वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।

● यदि त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के जोड़ के बराबर हो तो बड़ी भुजा के सम्मुख (opposite) समकोण (right angled triangle) होता है।

Mathematics Chapters Notes for 10th standard :-

अध्याय - 1 वास्तविक संख्याए
अध्याय  2  बहुपद
अध्याय  3  दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म
अध्याय  4  द्विघात समीकरण
अध्याय  5  समांतर श्रेढ़ी
अध्याय  6  त्रिभुज
अध्याय  7  निर्देशांक ज्यामिति
अध्याय  8  त्रिकोणमिति का परिचय
अध्याय  9  त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
अध्याय  10  वृत्त
अध्याय  11  रचनाएँ
अध्याय  12  वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
अध्याय  13  पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
अध्याय  14  सांख्यिकी
अध्याय  15  प्रायिकता