वास्तविक संख्याएँ [ Real Numbers ] Chapter -01 { Class Xth }

● यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका : - दो धनात्मक पूर्णांक a और b के लिए ऐसी अद्वितीय पूर्ण संख्याएँ q और r विद्यमान होती हैं कि
a = bq + r,  0 </= r < b

● यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका की मदद से ज्ञात कर सकते हैं -
(i) कोई सम पूर्णांक किस रूप का होता है।
(ii) कोई विषम पूर्णांक किस रूप का होता है।
(iii) किसी पूर्णांक का वर्ग या घन किस रूप का होता है।
(iv) किसी पूर्णांक के गुणज किस रूप के होते हैं।


● यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दो शून्येतर पूर्णांकों का HCF बहुत ही सरलता से ज्ञात किया जा सकता है।

● अंकगणित की आधारभूत प्रमेय : - प्रत्येक भाज्य संख्या का एक अद्वितीय अभाज्य गुणनखंड होता है। गुणनखंडों का क्रम कुछ भी हो सकता है।

● अभाज्य गुणनखंड विधि से दो या दो से अधिक संख्याओं का HCF और LCM ज्ञात किया जा सकता है।
HCF - अभाज्य गुणनखंडों में प्रत्येक उभयनिष्ठ गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल
LCM - अभाज्य गुणनखंडों में प्रत्येक उभयनिष्ठ गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल

● दो शून्येतर पूर्णांकों a और b के HCF और LCM में निम्नलिखित सम्बन्ध पाया जाता है -
HCF (a, b) x LCM (a, b) = a x b

● मान लीजिए कि p एक अभाज्य संख्या है। यदि p, a2 को विभाजित करती है, तो p, a को भी विभाजित करेगी, जहाँ a एक धनात्मक पूर्णांक है।

● अपूर्ण वर्ग संख्या के ऊपर करणी चिन्ह ( radical sign ) लगा हो, तो वह एक अपरिमेय संख्या होती है।

● जिस परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत होता है, उसे p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q सहभाज्य हैं तथा q का अभाज्य गुणनखंड 2n.5m के रूप का है, जहाँ n, m कोई धनात्मक पूर्णांक है। इसका विलोम भी सत्य है।

● जिस परिमेय संख्या p/q में q का अभाज्य गुणनखंड 2n.5m के रूप का नहीं होता, उसका दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है। इसका विलोम भी सत्य है।


● तीन संख्याओं के HCF और LCM में निम्नलिखित सम्बन्ध पाया जाता है -
LCM(p,q,r) = p.q.r.HCF(p,q,r)/HCF(p,q).HCF(q,r).HCF
(p,r)
                    तथा
HCF(p,q,r) = p.q.r.LCM(p,q,r)/LCM(p,q).LCM(q,r).LCM(p,r)

All Mathematics Chapters Notes for 10th standard :-

अध्याय - 1 वास्तविक संख्याए
अध्याय  2  बहुपद
अध्याय  3  दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म
अध्याय  4  द्विघात समीकरण
अध्याय  5  समांतर श्रेढ़ी
अध्याय  6  त्रिभुज
अध्याय  7  निर्देशांक ज्यामिति
अध्याय  8  त्रिकोणमिति का परिचय
अध्याय  9  त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
अध्याय  10  वृत्त
अध्याय  11  रचनाएँ
अध्याय  12  वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
अध्याय  13  पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
अध्याय  14  सांख्यिकी
अध्याय  15  प्रायिकता