अपवर्तक और अपवर्त्य | Factors and Multiples

Share:

अपवर्तक या गुणनखंड

#1  किसी संख्या को पूरी तरह विभाजित करने वाली संख्याएँ उस संख्या की अपवर्तक कहलाती हैं।

                   अथवा

#2  कोई संख्या जिन-जिन संख्याओं से पूरी तरह विभाजित हो जाए, वे सभी संख्याएँ उस संख्या की अपवर्तक कहलाती हैं।

जैसे 8 के अपवर्तक : 1, 2, 4, 8

12 के अपवर्तक : 1, 2, 3, 4, 6, 12

15 के अपवर्तक : 1, 3, 5, 15

20 के अपवर्तक : 1, 2, 4, 5, 10, 20


factors and multiples


नोट : ध्यान रखें कि अपवर्तक को गुणनखंड भी कहते हैं।


अपवर्तक के बारे में महत्त्वपूर्ण तथ्य :

● संख्या 1 सभी संख्याओं का अपवर्तक है।

● सभी संख्याएँ खुद का एक अपवर्तक होती है।

● सभी संख्याओं के अपवर्तकों की संख्या सीमित होती है।

● सभी संख्याओं का पहला अपवर्तक 1 और अंतिम अपवर्तक वह खुद होती है।

● किसी संख्या के आधे मान वाले अपवर्तक और उस संख्या के बीच में कोई अपवर्तक नहीं होता।

● सभी संख्याओं के अपवर्तक उन संख्याओं के पूर्ण विभाजक होते हैं।

● सभी संख्याओं के अपवर्तक या तो संख्या से छोटे या उनके बराबर होते हैं।

● यदि कोई संख्या X किसी अन्य संख्या Y का अपवर्तक है, तो संख्या X संख्या Y को पूरी तरह विभाजित करेगी।


संपूर्ण संख्या : जिस संख्या जिसके सभी अपवर्तकों का जोड़ उस संख्या का दोगुना हो, वह संख्या एक संपूर्ण संख्या कहलाती है।

जैसे हम संख्या 28 लेकर देखते हैं कि यह संपूर्ण संख्या है या नहीं ...

28 के गुणनखंड : 1, 2, 4, 7, 14, 28

28 के सभी गुणनखंडों का योग : 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56  (जोकि 28 का दोगुना है)

हमने देखा कि 28 के सभी गुणनखंडों का योग उसका दोगुना है। अतः हम कह सकते हैं कि 28 एक संपूर्ण संख्या है।

इस प्रकार हम अनेक संख्याओं की जाँच कर सकते हैं कि वे संपूर्ण संख्याएँ हैं या नहीं।

1 और 1000 के मध्य केवल तीन संपूर्ण संख्याएँ हैं : 6, 28, 496


अपवर्त्य या गुणज

#1  जो संख्या किसी संख्या से पूरी तरह विभाजित हो जाती है, उसे अपवर्त्य कहते हैं और अपवर्त्य को गुणज भी कहते हैं।

                   अथवा

#2  किसी संख्या के अपवर्त्य या गुणज उन संख्याओं को कहा जाता है, जो उससे पूरी तरह विभाजित हो जाती है।

                  अथवा

#3  किसी संख्या में प्राकृत संख्याओं (1, 2, 3, 4,…….) से गुणा करने पर उस संख्या के विभिन्न अपवर्त्य (multiples) प्राप्त होते हैं।

                  अथवा

#4  किसी प्राकृतिक संख्या के अपवर्त्य उसके 1, 2, 3, 4, 5 ...... गुने होते हैं।


जैसे संख्या 5 के गुणज : 5, 10, 15, 20, 25 .....

8 के गुणज : 8, 16, 24, 32, 40 .....

12 के गुणज : 12, 24, 36, 48, 60 .....

15 के अपवर्त्य : 15, 30, 45, 60, 75 .....


नोट : ध्यान रखें कि अपवर्त्य को गुणज भी कहते हैं।


अपवर्त्य के बारे में कुछ महत्वपूर्ण तथ्य :

● सभी संख्याएँ खुद का एक अपवर्त्य होती है।

● सभी संख्याएँ अपने सभी अपवर्तकों की अपवर्त्य होती हैं।

● सभी संख्याओं के अपवर्त्यों की संख्या असीमित होती है अर्थात सभी संख्याओं के अनगिनत अपवर्त्य होते हैं।

● सभी संख्याओं का पहला अपवर्त्य वह खुद होती है और अंतिम अपवर्त्य अनंत होता है।

● सभी संख्याओं के अपवर्त्य या तो संख्या से बड़े या उसके बराबर होते हैं।

● किसी संख्या के सभी अपवर्त्य उस संख्या से पूरी तरह विभाजित हो जाते हैं।

● यदि कोई संख्या X किसी अन्य संख्या Y का अपवर्तक है, तो संख्या Y संख्या X का अपवर्त्य होगी।


कोई टिप्पणी नहीं

Thanks for your comments !