पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन { Surface Areas and Volumes } [ Chapter 13, Class 9 ]

● त्रिविमीय आकृतियाँ (3D Shapes) - वे ठोस आकृतियाँ (solid shapes) जिनमें तीन विमाएँ (लंबाई, चौड़ाई व ऊँचाई) होती हैं, त्रिविमीय आकृतियाँ (3 Dimensional Shapes) कहते हैं। जैसे - घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला इत्यादि।

● घन (cube) - वह ठोस आकृति जो प्रत्येक सतह से वर्ग दिखती है, घन कहलाती है। जैसे - Colour matching game, Ludo Dice, Ice cube etc.
● घनाभ (cuboid) - वह ठोस आकृति जो 4 सतह से आयत और अन्य दो सतहों से वर्ग/आयत दिखती है, घनाभ कहलाती है। जैसे - सन्दूक, ईंट, किताब, दीवार आदि।
● बेलन (cylinder) - वह ठोस आकृति जिसकी लंबाई वक्रीय हो, बेलन कहलाती है। जैसे - पेंसिल, सरिया, पेड़ का तना, टंकी आदि।
● शंकु (cone) - वह ठोस आकृति जिसकी लंबाई वक्रीय हो और चारों ओर से देखने पर त्रिभुज लगता हो, शंकु कहलाती है। जैसे - जोकर की टोपी, सॉफ्टी कुल्फी, तम्बू, छाता आदि।
● गोला (sphere) - वह ठोस आकृति जो हर ओर से वृत्त दिखती है, गोला कहलाती है। जैसे - गेंद, लड्डू, रसगुल्ला, ग्लोब, कंचा आदि।
● पृष्ठ (surface) - ठोस आकृति की सतहों को पृष्ठ कहते हैं।
● जब तक π का कोई मान प्रश्न में न दिया जाए तब तक π = 22/7  या  π = 3.14 रखें।
● त्रिविमीय आकृतियों के क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र : -
* घन का क्षेत्रफल = 6a2
* घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4a2
* घनाभ का क्षेत्रफल = 2(लंबाई x चौड़ाई + चौड़ाई x ऊँचाई + ऊँचाई x लम्बाई)
                              = 2(lb + bh + hl)
* घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(bh + hl)
* बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
* बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr (r + h)
* शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
* शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr (l + r)
* गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr2
* अर्द्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr2
* अर्द्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr2
● त्रिविमीय आकृतियों के आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र : -
* घन का आयतन = a3
* घनाभ का आयतन = लंबाई x चौड़ाई x ऊँचाई
                              = lbh
* बेलन का आयतन = πr2h
* शंकु का आयतन = 1/3 πr2h
* गोले का आयतन = 4/3 πr3
* अर्द्धगोले का आयतन = 2/3 πr3
● ठोस वस्तुएँ स्थान घेरती हैं और इस स्थान को इकाइयों और सूत्रों के माध्यम से ज्ञात किया जा सकता है। इसी घेरे हुए स्थान को वस्तुओं का आयतन (volume) या धारिता (capacity) कहा जाता है।
नोट: जब बर्तन या वस्तु में भरी जाने वाली चीज़ द्रव (liquid) हो, तब आयतन को धारिता कहते हैं।

● घन भी एक घनाभ ही होता है, लेकिन घनाभ एक घन नहीं हो सकता। अतः घन का क्षेत्रफल घनाभ के सूत्र से भी ज्ञात किया जा सकता है, परन्तु घनाभ का क्षेत्रफल घन के सूत्र से नहीं ज्ञात हो सकता है।
● क्षेत्रफल और आयतन के प्रश्नों को हल करते समय ध्यान रखें कि सभी विमाएँ एक ही इकाई में दर्शाई गई हों, जैसे cm, m, mm ....
● यदि किसी 3D आकृति की विमाएँ (dimensions) अलग-अलग इकाइयों में दी गई हैं, तो सबसे पहले बड़ी इकाइयों को छोटी इकाइयों में बदलो या छोटी इकाइयों को बड़ी इकाईयों में बदलो। फिर बाद में कोई सूत्र लगाकर हल को आगे बढाओ।
● यदि किसी आकृति का क्षेत्रफल आपने cm2 में ज्ञात किया है और आप उसे m2 में ज्ञात करना चाहते हैं, तो cm2 वाले क्षेत्रफल (area) को 10000 से भाग देकर m2 में बदल सकते हैं।
● यदि किसी आकृति का आयतन आपने cm3 में ज्ञात किया है, तो cm3 वाले आयतन को 1000000 से भाग (divide) देकर m3 में बदल सकते हैं।

All Chapters Notes in Hindi Maths Class 9th

अध्याय 1 संख्या पद्धति
अध्याय 2 बहुपद
अध्याय 3 निर्देशांक ज्यामिति
अध्याय 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण
अध्याय 5 यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय
अध्याय 6 रेखाएँ और कोण
अध्याय 7 त्रिभुज
अध्याय 8 चतुर्भुज
अध्याय 9 समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल
अध्याय 10 वृत्त
अध्याय 11 रचनाएँ
अध्याय 12 हीरोन का सूत्र
अध्याय 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
अध्याय 14 सांख्यिकी
अध्याय 15 प्रायिकता