दो चरों वाले रैखिक समीकरण { Linear Equations in Two Variables } [ कक्षा 9, अध्याय 4 ]

● चर (variable) - अक्षरों द्वारा दर्शाए गए मानों को चर कहते हैं। जैसे 2x - 3 में x एक चर है।
● अचर (non-variable) - संख्यात्मक मान (numbers) को अचर कहते हैं। जैसे 20, 15, 25, 1000, 100 - 30, 100 + 4
● समीकरण (equation) - चरों और अचरों के संयोजन (combination) से दर्शाए गए दो पक्ष (बायाँ पक्ष और दायाँ पक्ष) जिनके बीच में समता (equal) का चिन्ह (=) लगा होता है, समीकरण कहलाता है।
● दो चर वाले समीकरण (equation in two variables) - जिस समीकरण में दो चर प्रयोग किये गए हों, दो चरों वाला समीकरण कहलाता है।

● रैखिक समीकरण (linear equation) - जिस समीकरण में अधिकतम घात 1 हो, उसे रैखिक समीकरण कहते हैं।
● रैखिक समीकरण का केवल और केवल एक अद्वितीय हल (unique solution) होता है।
● यदि किसी रैखिक समीकरण के दोनों पक्षों (sides) में कोई समान संख्या जोड़ी या घटाई जाए तो, समीकरण पर इसका कोई प्रभाव नहीं पड़ता। इसी प्रकार रैखिक समीकरण के दोनों पक्षों में शून्य (zero) के अलावा किसी भी संख्या से गुणा या भाग दिया जाए तब भी समीकरण अप्रभावित रहता है।
● दो चरों वाला रैखिक समीकरण (linear equation in two variables) - जिस समीकरण को
ax + by + c = 0 के रूप में प्रकट (show) किया जा सके उसे दो चरों वाला रैखिक समीकरण कहते हैं। ( a, b और c वास्तविक संख्याएँ (real numbers) हैं तथा a और b शून्येतर (non-zero) संख्याएँ हैं।
● दो चर वाले समीकरणों के अनगिनत (uncountable) हल होते हैं।
● दो चरों वाले रैखिक समीकरण के हलों को आलेख (graph) पर प्रदर्शित करके उन्हें मिलाने पर एक सीधी रेखा (straight line) प्राप्त होती है। माना समीकरण के हलों से रेखा PQ प्राप्त हुई, तब -
* हर वह बिंदु रेखा PQ पर स्थित होगा जिसके निर्देशांक (coordinates) समीकरण को सन्तुष्ट (satisfy) करते हैं।
* रेखा PQ पर स्थित हर बिंदु (a, b) समीकरण का एक हल x = a और y = b होता है।
* जो बिंदु रेखा PQ (समीकरण के हलों से प्राप्त रेखा) पर स्थित नहीं होगा, वह समीकरण का हल (solution) नहीं होगा।
● एक घात (power/degree) वाले समीकरण को रैखिक समीकरण इसलिए कहा जाता है, क्योंकि इसका आलेखीय निरूपण (graphic representation) एक सरल रेखा होता है।
● y = kx के रूप के समीकरण का आलेख वह रेखा होती है जो सदैव मूलबिन्दु (original point), (0, 0) से होकर जाती है।
नोटः मूलबिन्दु के निर्देशांक (0, 0) होते हैं।
● कार्तीय तल (cartesian plane) - x अक्ष (axis) और y अक्ष जो परस्पर (0, 0) पर प्रतिच्छेद (intersect) करते हैं, का आलेख कार्तीय तल कहलाता है।
● y अक्ष के समीकरण में x = 0 और x अक्ष के समीकरण में y = 0 होता है।
● x = a का आलेख कार्तीय तल पर y अक्ष के समांतर (parallel) एक सरल रेखा होता है और y = a का आलेख x अक्ष के समांतर सरल रेखा होता है।

All Chapters Notes in Hindi Maths Class 9th

अध्याय 1 संख्या पद्धति
अध्याय 2 बहुपद
अध्याय 3 निर्देशांक ज्यामिति
अध्याय 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण
अध्याय 5 यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय
अध्याय 6 रेखाएँ और कोण
अध्याय 7 त्रिभुज
अध्याय 8 चतुर्भुज
अध्याय 9 समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल

अध्याय 10 वृत्त
अध्याय 11 रचनाएँ
अध्याय 12 हीरोन का सूत्र
अध्याय 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
अध्याय 14 सांख्यिकी
अध्याय 15 प्रायिकता