हीरोन का सूत्र { Heron's Formula } [ Chapter 12, Class 9 ]

● सभी आकृति (shapes) की सतहों (surface) के क्षेत्रफल (area) को वर्ग मीटर (m2) अथवा वर्ग सेंटीमीटर (cm2) में लिखा जाता है।
● त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 आधार x ऊँचाई

● समकोण त्रिभुज (right angle triangle) - जिस त्रिभुज का कोई एक कोण समकोण (90°) हो।
● समबाहु त्रिभुज (equilateral triangle) - जिस त्रिभुज की तीनों भुजाएँ समान (equal) हों।
● समद्विबाहु त्रिभुज (isosceles triangle) - जिस त्रिभुज की कोई दो भुजाएँ समान हों।
● विषमबाहु त्रिभुज - जिस त्रिभुज की तीनों भुजाएँ असमान (unequal) हों।

● समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के चरण (steps) : -
* सर्वप्रथम आधार पर सम्मुख शीर्ष (vertices) से लंब (perpendicular) डालते हैं, जिससे हमें दो सर्वांगसम (congruent) समकोण त्रिभुज मिलते हैं।
(प्रत्येक त्रिभुज का आधार (base) समबाहु त्रिभुज का आधा होगा।)
* हमें त्रिभुज (समकोण त्रिभुज) का कर्ण (hypotenuse) और आधार ज्ञात है, तो पाइथागोरस प्रमेय (pythagoras theoram) की मदद से लंब अर्थात समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात कर सकते हैं।
* अब त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का प्रयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है।

नोट :- समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल भी इन्हीं चरणों से ज्ञात किया जा सकता है, लेकिन समकोण त्रिभुज के आधार असमान भुजा का आधा होगा।
● समद्विबाहु त्रिभुज में बराबर भुजाओं के सम्मुख (opposite) बराबर कोण होते हैं।
● विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हीरोन के सूत्र (formula) का प्रयोग किया जाता है -


हीरोन का सूत्र (Heron's formula) :
त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s(s-a)(s-b)(s-c)

जहाँ a, b और c त्रिभुज की भुजाएँ (sides) हैं और s त्रिभुज का अर्द्धपरिमाप (semi-perimeter) है।
s = (a + b + c)/2

नोट :- हीरोन के सूत्र को हीरो का सूत्र (Hero's formula) भी कहते हैं।
● चतुर्भुजों (quadrilateral) का क्षेत्रफल परिकलित (calculate) करने में भी हीरोन के सूत्र का प्रयोग किया जा सकता है। चतुर्भुजों को त्रिभुजों में विभाजित (break) करके हीरोन का सूत्र लगाया जाता है।
● चतुर्भुज की चारों भुजाएँ और एक या दोनों विकर्ण (diagonals) दिया होने पर चतुर्भुज दो/चार त्रिभुजों में बँट जाता है, फिर हीरोन के सूत्र से इसका क्षेत्रफल सरलता से ज्ञात किया जा सकता है।

All Chapters Notes in Hindi Maths Class 9th

अध्याय 1 संख्या पद्धति
अध्याय 2 बहुपद
अध्याय 3 निर्देशांक ज्यामिति
अध्याय 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण
अध्याय 5 यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय
अध्याय 6 रेखाएँ और कोण
अध्याय 7 त्रिभुज
अध्याय 8 चतुर्भुज
अध्याय 9 समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल
अध्याय 10 वृत्त
अध्याय 11 रचनाएँ
अध्याय 12 हीरोन का सूत्र
अध्याय 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
अध्याय 14 सांख्यिकी
अध्याय 15 प्रायिकता