एक चर वाले रैखिक समीकरण

रैखिक समीकरण : 

रैखिक समीकरण उस समीकरण को कहते हैं जिसकी अधिकतम घात एक होती है। रैखिक समीकरण में, समता चिन्ह (=) के दोनों पक्षों में रैखिक व्यंजक हो सकते हैं।

जैसे -

2x + 4y = 10

10x - 7 = 3

चर और अचर में अंतर :

चर : वह राशि जिसका मान बदलता रहता है अर्थात अस्थिर रहता है, उसे चर कहते हैं। चर अंग्रेजी वर्णमाला a, b, c, d .....x, y, z किसी को भी माना जा सकता है।

अचर : वह राशि जिसका मान नहीं बदलता अर्थात स्थिर रहे, उसे अचर कहते हैं। अचर कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है।

एक चर वाली रैखिक समीकरण :

जिस समीकरण में केवल एक अज्ञात चर हो, उसे एक चर वाली रैखिक समीकरण कहते हैं।

जैसे -

3x + 2 = 10

4a - 3 = 0

x - 5 = 3

एक चर वाले रैखिक समीकरण का सामान्य रूप ax + b = 0 होता है। जहाँ a और b दो शून्येतर पूर्णांक हैं और x एक चर है।

एक चर वाले रैखिक समीकरण के कुछ उदाहरण :

(i) 2x + 9 = 25

(ii) 9a + 2 = 15

(iii) x - 3 = 8

(iv) 2x/3 + 5/2 = 25

(v) 2m + 3 = 18

● एक चर वाले रैखिक समीकरणों का एक अद्वितीय हल होता है।

रैखिक समीकरण को हल करने के नियम :

(i) किसी भी समीकरण के दो पक्ष होते हैं, बायाँ पक्ष और दायाँ पक्ष।

(ii) जब किसी भी एक पक्ष की राशियाँ दूसरे पक्ष में स्थानांतरित करते हैं तो उनके चिन्ह बदल जाते हैं, (+) की जगह (-) और (-) की जगह (+) हो जाते हैं।

(iii) जब कोई अचर किसी चर के साथ गुणा में हो और उसे दूसरे पक्ष में स्थानांतरित करना हो तो वह दूसरे पक्ष के हर में अर्थात भाग में जाता है। इसी प्रकार किसी भिन्न के हर को दूसरे पक्ष में स्थानांतरित करने पर वह गुणा में बदल जाता है।

(iv) किसी समीकरण के दोनों पक्षों में कोई राशि जोड़ने, घटाने, गुणा करने या भाग करने से उनकी समानता में कोई अंतर नहीं आता।

एक चर वाले समीकरण पर आधारित प्रश्न और उनके हल :

प्रश्न : दो अंकों की एक संख्या में दहाई के स्थान का अंक इकाई के स्थान के अंक का तीन गुना है। यदि अंकों को परस्पर बदल दिया जाए, तो नई संख्या व पुरानी संख्या में अंतर 54 है। वह संख्या ज्ञात करो।

हल : माना इकाई का अंक = x

तब, दहाई का अंक = 3x

इसलिए संख्या = 10 × दहाई का अंक + इकाई का अंक

= 10 × 3x + x

= 30x + x

=31x

अंकों को बदलने पर नई संख्या = 10x + 3x

= 13x

प्रश्नानुसार,

31x - 13x = 54

(31-13)x = 54

18x = 54

x = 54/18

x = 3

अतः वह संख्या 93 है।

प्रश्न : सिदरा के पिता की आयु सिदरा से 4 गुनी है। 5 वर्ष बाद उसके पिता की आयु उसकी उस समय की आयु की 3 गुनी होगी। सिदरा और उसके पिता की वर्तमान आयु ज्ञात करो।

हल : माना सिदरा की आयु = x वर्ष

तब, उसके पिता की आयु = 4x वर्ष

5 वर्ष बाद सिदरा के पिता की आयु = (4x + 5) वर्ष

5 वर्ष बाद सिदरा की आयु = (x + 5) वर्ष

प्रश्नानुसार,

4x + 5 = 3(x + 5)

4x + 5 = 3x + 15

4x - 3x = 15 - 5

x = 10

अतः सिदरा की आयु = 10 वर्ष

तथा उसके पिता की आयु = 10 × 4 = 40 वर्ष है।