विभाज्यता के नियम (Divisibility Rules)

Divisibility Rules  (विभाज्यता के नियम)

विभाज्यता के नियम उन विधियों को कहा जाता हैं जिनसे पता चलता है कि कोई संख्या किसी अन्य संख्या से पूरी तरह विभाजित हो सकती है या नहीं।

2 से विभाज्यता का नियम:  प्रत्येक सम संख्या 2 से विभाजित हो जाती है। अन्य शब्दों में, जिस संख्या का इकाई का अंक 0, 2, 4, 6 या 8 हो, वह संख्या 2 से विभाजित हो जाती है।
जैसे: 154,  6516,  827720,  1000

3 से विभाज्यता का नियम:  जिस संख्या के सभी अंकों का योग 3 से विभाजित हो जाता है, वह संख्या 3 से विभाजित हो जाती है।
जैसे:  65175  => 6+5+1+7+5=24
अंकों का योग 24 है और 24 विभाजित है 3 से, इसलिए 65175 विभाजित है 3 से।

4 से विभाज्यता का नियम:  जिस संख्या के इकाई और दहाई के अंकों से बनी संख्या 4 से विभाजित हो जाती है, वह संख्या 4 से विभाजित हो जाती है।
जैसे: 772724,  7266260,  722612
♂ जिस संख्या के इकाई और दहाई के अंक शून्य हो, वह संख्या भी 4 से विभाजित हो जाती है।
जैसे:  6161600,  72616000

5 से विभाज्यता का नियम:  जिस संख्या का इकाई का अंक 0 या 5 हो, वह संख्या 5 से विभाजित हो जाती है।
जैसे:  626260,  71625

6 से विभाज्यता का नियम: जो संख्या 2 और 3 दोनों से विभाजित हो, वह संख्या 6 भी विभाजित हो जाती है।
जैसे:  65252,  98016

7 से विभाज्यता का नियम:  यदि दी गई संख्या के अंक का दोगुना बाकी संख्या (इकाई का अंक छोड़कर) से घटाने पर प्राप्त संख्या 7 से विभाजित है, तो पूरी संख्या 7 से विभाजित हो जाएगी।
जैसे:  343  में इकाई का अंक 3 है।
3 का दोगुना बाकी संख्या से घटाने पर
(34 - 6 = 28)
दो अंकों की संख्या 28 विभाजित है 7 से, अतः 343 भी 7 से विभाजित है।
Note: अगर घटाने पर भी कोई बड़ी संख्या प्राप्त होती है, तो इन्ही steps को दोहराते रहें।
♂ दी गई संख्या के इकाई अंक को 5 से गुणा करके बची संख्या मे जोड़ने प्राप्त संख्या अगर 7 से विभाजित है तो पूरी संख्या भी 7 से विभाजित हो जाएगी।
जैसे - 273
Step 1: इकाई अंक को 5 से गुणा करो
(3×5=15)
Step 2: गुणनफल को इकाई अंक को छोड़कर बाकी की संख्या मे जोड़ दो
(15 + 27 = 42)
42, जोकि 7 से विभाजित  है अतः 273 भी 7 से विभाजित होगा
अगर गुणनफल और बाकी संख्या को जोड़ने के बाद भी कोई बड़ी संख्या बने तो ये चरण दोहराएँ :-
संख्या:  9548
Step 1: (8 × 5 = 40)
Step 2:  (40 + 954 = 994)
संख्या 994 लेकर दोनों चरण फिर दोहराएँ,
Step 3:  (4 × 5 = 20)
Step 4:  (20 + 99 = 119)
संख्या 119 लेकर दोनों चरण फिर से दोहराएँ,
Step 5:  (9 × 5 = 45)
Step 6:  (45 + 11 = 56)
दो अंकों की संख्या 56, सात से विभाजित है, अतः 9548 भी 7 से विभाजित है।

8 से विभाज्यता का नियम: जिस संख्या के इकाई, दहाई और सैकडा के अंकों से बनी संख्या 8 से विभाजित होती है, वह संख्या 8 से विभाजित हो जाती है।
जैसे:  176888,  107568
जिस संख्या के इकाई, दहाई और सैकडा के अंक शून्य होते हैं वह संख्या भी 8 से कट जाती है।
जैसे:  626000,  81717000

9 से विभाज्यता का नियम:  जिस संख्या के अंकों का जोड़ 9 से विभाजित होता है, वह संख्या 9 से विभाजित हो जाती है।
जैसे:  71667  (अंकों का जोड़ 27),  926595 (अंकों का जोड़ 36)

10 से विभाज्यता का नियम: जिस संख्या का इकाई का अंक शून्य हो, वह संख्या 10 से विभाजित हो जाती है।
जैसे:  16160,  76640

11 से विभाज्यता का नियम:  जिस संख्या के सम स्थानों और विषम स्थानों अंकों का योग बराबर हो, वह संख्या 11 से विभाजित हो जाती है।
जैसे:  3267,  52173,  89012
52173 में,
सम स्थानों वाले अंकों का योग = 2 + 7 = 9
विषम स्थानों वाले अंकों का योग = 5 + 1 + 3 = 9
इसलिए 52173 विभाजित है 11 से।

12 से विभाज्यता का नियम: जो संख्या 3 और 4 दोनों से विभाजित हो, वह संख्या 12 से भी विभाजित होती है।
जैसे:  4632,  50712

13 से विभाज्यता का नियम:  यदि किसी संख्या के इकाई के अंक का चार गुना बाकी अंकों से बनी संख्या में जोड़ने पर प्राप्त योगफल यदि 13 से विभाजित है, तो वह संख्या भी 13 से विभाजित हो जाएगी।
जैसे:  2639,  5499

14 से विभाज्यता का नियम: जो संख्या 2 और 7 दोनों से विभाजित होती है, वह 14 से भी विभाजित होती है।
जैसे:  266,  672,  1554

15 से विभाज्यता का नियम:  जो संख्या 3 और 5 दोनों से विभाजित होती है, वह 15 से भी विभाजित होती है।
जैसे:  9765,  15690

16 से विभाज्यता का नियम:  जिस संख्या के अंतिम चार अंकों से बनी संख्या 16 से विभाजित है, वह संख्या 16 से विभाजित होती है।
♂ जिस संख्या में हजार के स्थान पर एक सम अंक हो और अंतिम 3 अंकों से बनी संख्या 16 से विभाजित है, तो पूरी संख्या 16 से विभाजित होती है।
♂ वह संख्या भी 16 से विभाजित होती है जिस संख्या में हजार के स्थान पर विषम अंक हो और अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या में 8 जोड़ने पर वह 16 से विभाजित हो।
जैसे:  512,  944,  1424

17 से विभाज्यता का नियम:  यदि किसी संख्या के इकाई के अंक का 5 गुना बाकी अंकों से बनी संख्या से घटाने पर वह 17 से विभाजित होती है, तो पूरी संख्या 17 से विभाजित होगी।
जैसे:  2074,  391
बड़ी संख्या की स्थिति में इन दोनों चरणों को बार-बार दोहराएँ।


18 से विभाज्यता का नियम:  जो संख्या 3 और 6 दोनों से विभाजित हो, वह संख्या 18 से भी विभाजित होती है।
जैसे:  702,  2286

19 से विभाज्यता का नियम:  यदि किसी संख्या के इकाई के अंक का दोगुना बाकी अंकों से बनी संख्या में जोड़ने पर प्राप्त संख्या 19 से विभाजित है, तो पूरी संख्या 19 से विभाजित होती है।
जैसे:  703,  1881,  2299
बड़ी संख्या होने पर इन दोनों चरणों को बार-बार दोहराएँ।


20 से विभाज्यता का नियम:  जो संख्या 4 और 5 दोनों से विभाजित हो, वह संख्या 20 से भी विभाजित होती है।
जैसे:  2900,  15820